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哥哥打大a辅助工具开挂技巧教程

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网上科普有关“求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解”话题很是火热，小编也是针对求微分方程ylnydx+(x-lny)dy=0的通解寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

令y=e^t, 则原式化为 t*e^tdx+(x-t)*e^tdt=0

两边同除以e^t,整理可得 tdx+xdt=tdt

即 d(xt)=d(1/2t^2)

积分可得 xt=1/2t^2+C （C为任意常数）

带入t=lny,得 xlny=1/2 (lny)^2 + C （C为任意常数）

故该微分方程的解为xlny=1/2 (lny)^2 + C （C为任意常数

1 微分方程

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度 v = d x d t v=\frac{dx}{dt} v=

dt

dx

，即每一时刻距离的变化；而加速度 a = d v d t a=\frac{dv}{dt} a=

dt

dv

，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如： y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+q y

′

(x)=py+q。

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如： ? T ? t ( x , y , t ) = ? 2 T ? x 2 ( x , y , t ) + ? 2 T ? y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t)

t

T

(x,y,t)=

x

2

2

T

(x,y,t)+

y

2

2

T

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)

y

′

+p(x)y=q(x)

若：

q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0，则是一阶线性齐次微分方程；

q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0 q(x)

=0，则是一阶线性非齐次微分方程；

通解：

y = e ? ∫ p ( x ) d x [ ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + c ] y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+c]

y=e

∫p(x)dx

[∫q(x)e

∫p(x)dx

dx+c]

2.2 变量可分离

形如：

∫ g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int g(y)dy=\int f(x)dx

∫g(y)dy=∫f(x)dx

解法：

d y d x = g ( y ) f ( x ) → G ( y ) = F ( x ) + c \frac{dy}{dx}=\frac{g(y)}{f(x)} \rightarrow G(y)=F(x)+c

dx

dy

=

f(x)

g(y)

→G(y)=F(x)+c

就是将 d y dy dy与 d x dx dx移到一边，其余的移动到另外一边。

2.3 齐次方程

形如：

d y d x = f ( y x ) \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})

dx

dy

=f(

x

y

)

解法：

令 y x = u \frac{y}{x}=u

x

y

=u，则 d y = u d x + x d u dy=udx+xdu dy=udx+xdu

代入原方程。

2.4 伯努利方程

形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y'+p(x)y=q(x)y^n

y

′

+p(x)y=q(x)y

n

解法：

等式两边同时除 y n y^n y

n

，得到 y ? n y ′ + y 1 ? n p ( x ) = q ( x ) y^{-n}y'+y^{1-n}p(x)=q(x) y

n

y

′

+y

1?n

p(x)=q(x)

令 y 1 ? n = u y^{1-n}=u y

1?n

=u；

对第二步结果求导得： ( 1 ? n ) y ? n y ′ = d u d x → y ? n y ′ = u ′ 1 ? n = 1 1 ? n d u d x (1-n)y^{-n}y'=\frac{du}{dx} \rightarrow y^{-n}y'=\frac{u'}{1-n}=\frac{1}{1-n}\frac{du}{dx} (1?n)y

n

y

′

=

dx

du

→y

n

y

′

=

1?n

u

′

=

1?n

1

dx

du

;

将步骤3结果与步骤2结果代入步骤1： 1 1 ? n d u d x + u p ( x ) = q ( x ) \frac{1}{1-n} \frac{du}{dx}+up(x)=q(x)

1?n

1

dx

du

+up(x)=q(x)；

接着依据步骤4的情况来选择使用什么通解公式求解。

2.5 全微分方程

形如：

P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

就是说函数 P P P和函数 Q Q Q都是包含了 x x x和 y y y的。

解法：

线积分法： Φ ( x , y ) = ∫ x 0 x P ( x , y ) d x + ∫ y 0 y Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y)dx+\int_{y_0}^y Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫

x

0

x

P(x,y)dx+∫

y

0

y

Q(x,y)dy或 Φ ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \Phi(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy Φ(x,y)=∫

(x

0

,y

0

)

(x,y)

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

偏积分法： ? Φ ? x = P ( x , y ) , ? Φ ? y = Q ( x , y ) \frac{\partial \Phi}{\partial x}=P(x,y), \frac{\partial \Phi}{\partial y}=Q(x,y)

x

Φ

=P(x,y),

y

Φ

=Q(x,y)，第一个等式对 x x x积分得 Φ ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + ψ ( y ) \Phi (x,y)=\int P(x,y)dx+\psi (y) Φ(x,y)=∫P(x,y)dx+ψ(y)，代入第二个等式求 ψ ( y ) \psi(y) ψ(y)，即可得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y)

凑微分法：凑微分得 Φ ( x , y ) \Phi(x,y) Φ(x,y

d的意思就是很小的变化,接近于零。跟倒数里的d是一样的

a=dv/dt 其实就是导数。

意识是假设速度v 是关于时间t 的函数 V（t）

那么加速度a就是V的导数。 t 和 x 没什么区别，只是一个代表符号而已。

就个例子V=10+9.81t a=dv/dt=9.81

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